你的 Loss 在下降，但优化的可能只是数值伪影

背景

上一篇 用 PyTorch 实现一个可微光学逆向设计系统 把整套 Fourier optics inverse-design pipeline 搬到了原生 PyTorch：phase modulator → ASM 传播 → mode-overlap loss → autograd → Adam。N=250、Δx=10 μm、λ=700 nm、z=0.2 m 这组参数下，optimizer 把 loss 顺利压到接近 0，整个链路跑通了。但里面 N、Δx、L、λ、z 这五个量是怎么选的，那篇文章里没问过；写好 init 阶段的几行代码，整个计算图就跑起来了。

可微光学里，参数本身就是模型的一部分。这五个量共同决定 forward model 能不能描述真实物理：采样点不够、Δx 太大、计算窗口装不下传播后的光场，或者传播距离与频域网格失配，forward 模型都会给出看上去合理、实际不对的 U_out。inverse design 里尤其危险：optimizer 只看得到 loss 下降，看不到 forward 内部的数值失真。误差会沿着完全正常的梯度 backprop；表面上 loss 降了，实际优化的可能只是数值伪影。

优化前应先做一次数值模拟检查，也就是 sanity check。本文用方孔衍射，依次检查网格参数、输入采样、计算窗口、频率采样、传播算子相位和传播模型的适用范围。目的很简单：确认当前 forward model 的输出能否用于 inverse design。

先看方孔传播的结果

输入场是一个边长为 $a=100,\mu\mathrm m$ 的理想方孔，置于计算窗口中心：

由此得到计算窗口的物理宽度为

横纵方向覆盖 $[-0.512,,0.512],\mathrm{mm}$。

输入场与角谱

下图左侧为输入方孔，右侧为它的二维角谱幅度。

左图：方孔宽度占 50 个像素，边缘陡直，没有可见的锯齿或台阶。右图是它的二维频谱：中心一个亮峰，能量主要集中在中心十字形区域；横纵方向延伸出较弱的旁瓣。

不同距离下的传播图

waveprop 实现了 Fraunhofer、Fresnel、Angular Spectrum Method 和 Direct Integration。这里让四种方法都返回真实输出坐标，并在相同的物理观察窗口中比较。DI 直接离散 Rayleigh–Sommerfeld diffraction integral^[1]，没有 Fresnel 或 Fraunhofer 近似，但仍受输入采样、输出窗口和离散积分误差限制，因此只把它作为交叉参考。

依次传播到

每张图从左到右依次为 ASM、Fresnel、Fraunhofer 和 DI 四种方法在同一 ±0.5 mm 观察窗口内的结果。

z=1 mm 时，ASM、Fresnel 和 DI 几乎重合。能量集中在中心约 0.1×0.1 mm² 的方形区域，与原始方孔差不多大；硬边衍射带来的近场干涉在方形内部留下细密的明暗纹理。Fraunhofer 在同一 ±0.5 mm 窗口内却只剩中心几颗像素，把远场图样按 z 缩到了一个亮斑。它要求传播距离远大于十几毫米，z=1 mm 显然不在这个范围内；到了远场，这种按 z 缩放的尺度才是正常的。

到 z=10 mm，方孔的轮廓已经看不出来了，但 ASM、Fresnel 和 DI 仍然一致：中心是明亮的方形主瓣，横纵方向各有几级旁瓣，整体呈十字形。Fraunhofer 依旧挤成一团中心亮斑，ASM、Fresnel 和 DI 都有的横纵旁瓣没有出现。

z=100 mm 时，ASM 和 Fresnel 突然变了形：主瓣不见了，横纵方向密集的明暗条纹交叉成规则方格，亮度从中心往四边递减，条纹已经靠近窗口边缘。同一窗口里的 Fraunhofer 和 DI 则仍然平滑。Fraunhofer 是中心向外衰减的方形主瓣和横纵旁瓣，包络与输入角谱的十字形一致；DI 的形态接近，只是中心亮区在两个方向都略宽一些。

z=150 mm 时，ASM 和 Fresnel 的方格继续向外铺开，几乎占满整个 1.024 mm 窗口。中心几格最亮，四边仍有可见强度，最外层已经被边界截断。Fraunhofer 和 DI 依然保持方形主瓣加横纵旁瓣的十字形结构，DI 在两个方向上都比 Fraunhofer 更宽。

Fraunhofer 和 DI 都没有这些方格，说明它们是当前数值设置引入的伪影。z=100 mm 和 z=150 mm 的 ASM/Fresnel 已被离散条件污染；可能是窗口不够、FFT 周期边界的 wrap-around、传播算子欠采样，也可能是传播模型不在适用范围。

这次传播需要检查的几个条件

网格参数

当前参数为

由 $\Delta x$ 与 $N$ 可以直接得到空间窗口宽度

横纵方向覆盖

FFT 把空间域映射到频域后，频率采样间隔由 $L$ 唯一决定：

对应的 Nyquist frequency 则由 $\Delta x$ 决定：

$\Delta x$ 决定输入场在空间域里采得够不够细；$L$ 决定传播后的光场会不会跑出窗口；$\Delta f$ 决定输入频谱与 propagation kernel 在频域里采得够不够密。

输入采样

空域看方孔轮廓是否被充分采样，频域看主要频谱能量是否集中在远离 Nyquist 边界的区域、并且其结构是否被 $\Delta f$ 充分描述。

空域检查

输入方孔宽度为

在当前网格上横向占

个像素。方孔宽度由 50 个采样点表示，轴对齐边界没有明显的栅格化失真。

频域检查

对输入场做二维 Fourier transform：

频谱能量为

方孔存在硬边，因此频谱呈 sinc 型，没有有限带宽。这里定义边缘能量比 $\eta_{\mathrm{edge}}$，统计 Nyquist 频带最外侧 $20%$ 内的能量占比：

当前参数下得到

输入频谱几乎完全集中在 $|f|<0.8f_N$ 的内部区域，只有方孔硬边引入的高频尾部（约 $0.42%$ 的能量）落在最外侧 $20%$ 的频带内。

上图左为输入方孔，右为它的二维角谱。红实线方框是外圈能量占比对应的频率区域，橙虚线方框是 sinc 主瓣。两块之间的空白区域就是被求和的高频尾部，对应 0.42% 的量化结果。

再看频域分辨率。方孔 sinc 频谱从中心到第一零点的频率尺度为

当前

因此在一个 $1/a$ 的频率尺度内大约有

个采样点。这一密度足以分辨 sinc 主瓣的形状，也能描述至少一两级旁瓣。

小结

当前网格在输入这一侧没有明显问题：

因此，100 mm 和 150 mm 的异常主要不在输入场，而在后续的离散条件。

计算窗口

传播后的光场还能不能留在当前 $L=1.024,\mathrm{mm}$ 的窗口里？

窗口半宽为

频域估算

对于空间频率 $f$，近轴条件下的传播角约为

传播距离 $z$ 后的横向位移约为

要求这部分光场仍然位于半窗口 $L/2$ 内，可以定义安全频率

上图是输入角谱的中心截面，标出 sinc 第一零点（±10 mm⁻¹）、Nyquist 边界（±250 mm⁻¹）和四个距离对应的安全频率。z=1 mm、10 mm 时，安全频率还在第一零点外；z=100 mm 时降到 9.62 mm⁻¹，已经落进主瓣；z=150 mm 时只有 6.42 mm⁻¹，主瓣里已有一部分频率分量会越过窗口半宽。

空域估算

从空间域也能得到同样的结论。方孔远场第一零点的位置约为

代入当前参数：

上图是 ASM、Fresnel、Fraunhofer、DI 在中心水平截面上的归一化强度，从左到右 z=1、10、100、150 mm，黑色虚线为 Rayleigh–Sommerfeld 直接离散积分结果。z=1 mm 与 z=10 mm 时，ASM、Fresnel 和 DI 基本重合；z=100 mm、z=150 mm 时，ASM 与 Fresnel 在 DI 主瓣附近叠加了密集振荡，Fraunhofer 与 DI 仍是平滑曲线。

原窗口半宽只有 $512,\mu\mathrm m$。$z=100,\mathrm{mm}$ 时，第一零点已贴近窗口边缘；$z=150,\mathrm{mm}$ 时，它比窗口半宽大约多出 $56%$，主瓣外的结构会被截断。

Padding convergence 直接验证

保持 $\Delta x=2,\mu\mathrm m$ 不变，将网格依次扩大为 $N$、$2N$、$4N$，对应的窗口为

传播完成后，只比较三种网格共同覆盖的中心感兴趣区域（Region of Interest，下称 ROI）：

短距离下，padding convergence 已经稳定。z=1 mm 和 z=10 mm 的两条曲线都在 10⁻⁵ 量级以下，没有碰到 WARN 阈值；继续增大网格，差异可以忽略。

从 z=100 mm 开始就不同了：1N→2N 已越过 FAIL 阈值，z=150 mm 时误差接近 25%；2N→4N 仍高于 WARN，说明 4N 也还不够。

原始 N=512 配置只在 z=1 mm、z=10 mm 下可信。z=150 mm 时，网格每翻一倍确实都在改善：1N→2N 的误差为 25%，2N→4N 已降到 8%，但还没有收敛。

在 padding convergence 收敛前做 inverse design，forward model 输出本身就不稳定。

Zero-padding 与真实增大 $N$ 的区别

这里的 padding convergence，就是比较 zero-padding 的效果。补零不改变原始输入的物理采样 $\Delta x$ 或方孔宽度 $a$，只是在传播前把数组扩到

再做 FFT。原始输入场仍定义在 $512\times512$ 网格上，$\Delta x$ 不变；变大的是计算数组：

waveprop 的部分 FFT propagator 已内置 zero-padding。以 angular_spectrum 和 fresnel_conv 为例，pad=True 会先将输入网格扩到默认的 2 倍，即从 512×512 补到 1024×1024；传播在更大的数组上完成，最后裁回原输出区域。原始输入的 $\Delta x$ 和 $N$ 不变，FFT 内部使用更大的计算网格，以减轻 circular convolution 和周期边界的影响。

Fresnel 和 ASM 在 zero padding 之后的结果：

相较未加 padding 的 N=512 结果，ASM/Fresnel 的方格变细了，也更均匀；图中可见的间距也变小。zero-padding 将 $\Delta f$ 减半，但方格仍铺满 ±0.5 mm 窗口。Fraunhofer 和 DI 仍是平滑的方形主瓣加横纵旁瓣，没有方格。补零缓解了一部分问题，计算窗口却依然不够；waveprop 默认的 2 倍 zero-padding 对长距离传播仍然偏紧。

保持 zero-padding，再把 $N$ 真正提高到 1024。$\Delta x=2,\mu\mathrm m$ 不变：

得到 $z=100,\mathrm{mm}$ 和 $z=150,\mathrm{mm}$ 下四种方法的光场分布图：

观察窗口扩大到 ±1.024 mm 后，z=100 mm 下四种方法都出现了中心方形主瓣和横纵旁瓣，主瓣尺度也与 Fraunhofer 的远场估算一致。ASM/Fresnel 中心仍有一层细密方格；$\Delta f$ 减半后，它的间距变小了，但不再铺满整个窗口。

z=150 mm 时，亮斑继续变大，四种方法的整体形态也更接近。不过 ASM/Fresnel 中心仍看得到网格。输入频谱并不是问题，传播算子的频域采样却仍然不够：z=100 mm 和 z=150 mm 时，kernel 相位随频率的变化比当前 $\Delta f$ 能分辨的更快，kernel 本身已有欠采样风险，这也解释了中心纹理为何没有消失。

下图给出 ASM、Fresnel、Fraunhofer 与 DI 的中心截面比较。横轴是传播距离 $z$，纵轴是归一化 MSE；上图为 N=512、无 padding，下图为 N=1024、加 zero-padding。

两图的对比重点是 ASM/Fresnel。Fraunhofer 在远场的两组配置下与 DI 的曲线几乎重叠，这符合逻辑；z=150 mm 时 ASM/Fresnel vs DI 的 MSE 从约 0.165/0.185 降到约 0.018/0.048，差不多压了一个数量级，但仍未归零。因为剩余差距里既有 kernel 频域欠采样的成分，也可能夹着周期边界伪影，目前还无法把原因唯一归到某一种数值机制上。

频率采样

在 N=1024 加 zero-padding 之后，ASM/Fresnel 中心仍有细密网格。padding 收敛把 z=150 mm 处的误差从约 25% 压到约 8%，但没归零。输入频谱本身没问题：能量主要落在远离 Nyquist 的区域，不是这个纹理的主因。

可能是当前频域网格对 propagation kernel 采得不够密。BLAS^[2] 类的 band-limit 正是针对这一频段；若开启 BLAS 后网格消失，说明 kernel 的频域欠采样很可能是主要来源。

ASM 传播算子

Angular Spectrum Method 的传播关系是

其中

在标量 Helmholtz 范围内，ASM 不含 Fresnel 近似；问题在于，计算机只能采样离散的 $H(f_x,f_y)$。

令

FFT 的频率格点为

$\phi(f)$ 的局部斜率是：

当 $f\to 1/\lambda$ 时，分母 $\sqrt{1/\lambda^2-f^2}\to 0$，于是

高空间频率处，$H(f)$ 的相位变化很快。相邻频率点 $f_m$、$f_{m+1}$ 之间，真实相位可能已跨过 $3\pi$、$6\pi$，采样却只留下两个点。这就是 transfer function 的 aliasing：$H(f)$ 本身被 undersampled。

当前参数下的相步估计

下面切到 $N=1024$、$\Delta x=2,\mu\mathrm m$ 的网格：

$\Delta f$ 不随 $z$ 改变，$\phi$ 对频率的变化速度却会随 $z$ 增大。沿 $f_x$ 方向，

所以相邻频率点间的 phase step 近似为

即

与 $N=512$ 相比，$\Delta f$ 已减半，因此相同有效频带内的 phase step 也约减半。

取包含输入角谱 $99.9%$ 能量的有效频带

并在其中计算

四个距离下的结果为：

将 $\Delta\phi_H\approx\pi$ 作为工程警戒线：$z=1,\mathrm{mm}$ 相对安全，$z=10,\mathrm{mm}$ 刚越线；$z=100,\mathrm{mm}$ 和 $z=150,\mathrm{mm}$ 的 propagator undersampling 风险仍然明显。

将 $N$ 从 512 提高到 1024，frequency sampling 确实改善了，但仍不足以覆盖长距离传播。窗口虽扩大一倍，z=100 mm 和 z=150 mm 时 propagation kernel 的相位变化仍比当前 frequency grid 快一个数量级以上。

Matsushima 和 Shimobaba^[2]提出 BLAS，正是为处理标准 ASM 的 transfer function 在有限采样、有限窗口和传播几何共同限制下产生的误差。它裁去当前网格无法可靠传播的高频部分。

waveprop 可以直接开启 bandlimit：

1
2
3
4

# 公共 API：angular_spectrum 返回 (u_out, x_out, y_out)；这里显式开启 bandlimit 与 padding
u_asm, x_asm, y_asm = angular_spectrum(U0, wavelength, dx, z, bandlimit=True, pad=True)

u_fres, _, _ = fresnel_conv(U0, wavelength, dx, d2_out, z, pad=True)

启用 bandlimit 后，$z=100,\mathrm{mm}$ 和 $z=150,\mathrm{mm}$ 的结果如下：

启用 bandlimit 后，z=100 mm 和 z=150 mm 的 ASM 中心方格几乎消失，亮斑也与 DI 几乎贴合。这支持 kernel 欠采样是原有纹理主要来源的判断。

网格取 $N=1024$，加入 zero-padding 并开启 bandlimit 后，ASM、Fresnel、Fraunhofer 与 DI 的中心截面比较如下：

z=100 mm、z=150 mm 时，ASM/Fresnel 的 MSE 明显降低。以 z=100 mm 为例，ASM 从约 0.066 降到约 0.01，Fresnel 从约 0.081 降到约 0.005；z=150 mm 时，ASM 约为 0.018，Fresnel 为 0.048。ASM 相对 DI 的误差已接近 0；Fresnel 因 paraxial approximation 仍保留约 0.048 的差距。

下图是中心水平截面的归一化强度，从左到右为 $z=1,,10,,100,,150,\mathrm{mm}$；黑色虚线为 DI。

z=1 mm、10 mm 时，ASM、Fresnel 与 DI 基本重合，Fraunhofer 仍明显偏离。z=100 mm、150 mm 时，ASM 与 DI 在共同 ROI 和容差内几乎贴合；Fresnel 的主瓣上仍有 paraxial approximation 带来的高频振荡。

传播模型适用性

模型选择和离散网格是两层问题。Fresnel 用 paraxial 近似，Fraunhofer 用远场近似，ASM 使用完整的标量 $k_z$，DI 则直接离散 Rayleigh–Sommerfeld 积分。它们的物理假设不同；即便输入场和网格相同，结果也不一定应当相同。

传播距离 $z$ 会同时影响两层条件。距离太短时，Fresnel 和 Fraunhofer 的近似可能还不成立；距离变长后，ASM 的 kernel 相位又可能快过频域网格的采样速度。每次改变传播距离，都要重新检查模型假设和离散条件。

在 differentiable optics 中，后续优化无法补救选错的传播模型。若在 $z=1,\mathrm{mm}$ 用 Fraunhofer 反传，autograd 会按远场 sinc 模式调整 phase map，loss 可以持续下降，目标却不是实际的近场光场。长距离 ASM 不开 bandlimit 也是一样：autograd 会把欠采样 kernel 产生的网格纹理写进 phase map；loss 下降了，相位图里却混入数值伪影。

误差的两类来源

比较 Fresnel、ASM 和 DI 的输出前，先把公式本身的近似和网格造成的误差分开：

Taylor 截断、远场假设和倏逝波处理，属于公式层面的近似；kernel 相位 aliasing、有限孔径、quadrature 和 circular convolution，则来自离散网格。同一个 ASM 在 $N=1024$、padding 与 BLAS 都开启时表现良好，在 $N=512$ 上却出现方格，说明问题出在离散条件，公式本身没有变。下面分别看模型近似和传播算子的离散误差。

传播模型的近似误差

ASM、Fresnel、Fraunhofer 的关系可以直接从 ASM 的传播相位展开来看^[3]：
$$
\phi_{ASM}(f_x, f_y) = 2\pi z \sqrt{\tfrac{1}{\lambda^2} - f_x^2 - f_y^2}.
$$

对 $\sqrt{1 - \lambda^2(f_x^2+f_y^2)}$ 在零频附近展开：
$$
\phi_{ASM} = \tfrac{2\pi z}{\lambda} - \pi\lambda z (f_x^2+f_y^2) - \tfrac{\pi}{4}\lambda^3 z (f_x^2+f_y^2)^2 + O(f^6).
$$

去掉与频率无关的全局相位，Fresnel 只保留二次项：
$$
\phi_{Fresnel} = -\pi\lambda z (f_x^2 + f_y^2).
$$
Fraunhofer 在相位近似上也忽略这一二次项，并将输出写成按距离缩放的傅里叶变换。

对边长为 $a$ 的孔径，Fraunhofer 忽略二次相位后产生的最大相差为
$$
\max|\Delta\phi_{Fr \leftarrow F}| = \tfrac{\pi a^2}{4\lambda z} = \tfrac{\pi N_F}{4},
\qquad N_F = \tfrac{a^2}{\lambda z}.
$$
$N_F$ 是 Fresnel 数。$N_F\gg1$ 仍是近场，$N_F\ll1$ 才进入 Fraunhofer 的远场范围。这个 $100,\mu\mathrm m$ 方孔在 $532,\mathrm{nm}$ 波长下，$a^2/\lambda\approx18.8,\mathrm{mm}$。$z=10,\mathrm{mm}$ 时 $N_F\approx1.88$，Fraunhofer 还不适用；$z=100,\mathrm{mm}$ 和 $150,\mathrm{mm}$ 时分别为 $0.188$、$0.125$，可视为这组参数下的远场。

Fresnel 舍去四阶及更高阶项。以 $\sin\theta=\lambda f$ 把空间频率写成传播角度，Fresnel 相对 ASM 漏掉的第一项相位为
$$
\Delta\phi_{F \leftarrow A} = \tfrac{\pi z \sin^4\theta}{4\lambda}.
$$
$\Delta\phi_{F \leftarrow A}$ 表示同一角度分量传播距离 $z$ 后，Fresnel 与 ASM 累积的相位差。Fresnel 以二次相位近似精确的平方根相位；当这项差异接近 $1,\mathrm{rad}$，两者对该频率分量的相位预测就会明显分开。若保守地要求相位余项远小于 $1,\mathrm{rad}$，则有
$$
z \ll \tfrac{4\lambda}{\sin^4\theta}.
$$
这不是严格的物理边界，$1,\mathrm{rad}$ 只是在量级上筛查近似误差会不会影响结果。Fresnel 能否使用也不只取决于距离，还要看准备保留的传播角度：角度越大，舍去的四阶相位累积得越快。

主瓣第一零点处，$\theta_1=\lambda/a\approx5.3,\mathrm{mrad}$，对应距离上限约为 $2.7,\mathrm{km}$，所以 $1$ 至 $150,\mathrm{mm}$ 内的主瓣可用 Fresnel 描述。若要保留 $5^\circ$ 的旁瓣，界限缩到约 $37,\mathrm{mm}$；$10^\circ$ 时仅约 $2.3,\mathrm{mm}$。这和 Fraunhofer 的远场条件并不是同一件事：同一距离上，Fraunhofer 可能已足够描述孔径形成的远场主瓣，Fresnel 对宽角旁瓣的相位却仍会偏离 ASM。

ASM 没有 Fresnel 的 Taylor 截断。对传播波，它使用完整的标量 $k_z$；令 $q=\sqrt{f_x^2+f_y^2}$，倏逝波对应 $q>1/\lambda$，需要另行处理。许多实现会直接将它们置零，但近场、sub-wavelength 或 metasurface 问题可能正需要这部分信号。这时可以估计目标面仍保留的倏逝波能量：
$$
\eta_{\rm ev}(z) = \tfrac{\iint_{q>1/\lambda} |\tilde U_0|^2 \exp[-4\pi z\sqrt{q^2-1/\lambda^2}]}{\iint |\tilde U_0|^2}.
$$

Forbes^[5]指出，衍射积分中的振荡项会彼此抵消，因此这类相位余项适合作为保守筛查量。Southwell^[4]给出的实验误差可用于量级参照。

传播算子的离散误差

DI 直接离散 Rayleigh–Sommerfeld 积分，不含 Fresnel 或 Fraunhofer 的 Taylor 截断；但输入采样、积分求积、有限孔径和输出网格仍会带来误差。FFT-DI 还要处理 circular convolution 与 zero padding^[1]。

ASM 的离散误差主要出在传播算子。距离变长后，相邻频率格点的相位可能跨过多个 $\pi$，当前 $\Delta f$ 无法采准高频部分，输出便会出现并不存在的网格纹理。zero-padding 会加密频率网格，能减轻但不保证消除误差。活动频带的 phase-step，以及不同 padding 下结果是否稳定，才决定当前 ASM 能不能用。若 BLAS 裁掉不可靠频带后重新贴合已收敛的 DI，就可以把纹理归因于 propagation kernel 的离散采样。

同一个 ASM 在 $N=512$ 上出现方格，在 $N=1024$ 加 padding 和 BLAS 后贴合 DI，变的只是离散条件。若用未限带的 ASM 做长距离 inverse design，优化器会把这些纹理当作可利用的结构；loss 即使下降，phase map 也不会对应实验中的光场。

当前参数下的选型

这组方孔的模型假设和离散网格都得通过检查。$N_F$ 用来判断 Fraunhofer 的远场假设；活动频带内的 $\Delta\phi_{\max}$ 用来判断 ASM 的 kernel 是否欠采样；padding convergence 则检查有限窗口和周期边界是否已经收敛。表中的 phase-step 使用 $N=1024$ 时的频域网格。

度量与 reference 选择

有些指标在传播前就能算出：传播算子的 phase-step 取决于 $z$、$\Delta f$ 和活动频带；倏逝波残余 $\eta_{\rm ev}(z)$ 可由输入角谱和距离估计；Fresnel 相对 ASM 的相位余项也只应在实际有能量的频带内取最大值。若把它们扩到整个 FFT 网格，最大值可能落在空频段，对当前光场没有参考价值。

模型和网格条件通过后，再比较输出场。若关心目标面的光强，可用

如果 phase map 还要送入后续设计，就应比较复振幅。两组场可能只差一个没有物理意义的全局相位，先令

并计算

局部相位差为 $\arg\left(U_{\mathrm{test}}’ U_{\mathrm{ref}}^*\right)$。暗区的 $|U|$ 接近零，phase 本身不稳定，统计时只保留 $I_{\mathrm{ref}}>10^{-3}I_{\max}$ 的区域。不同传播器返回的输出坐标未必一致，比较前需插值到共同 ROI。

Fresnel 可与 ASM 对照，ASM 可与 DI 对照。DI 要充当 reference，自身也必须通过积分和网格收敛检查。允许的误差取决于任务：只比较目标面光强，和把复振幅继续送入后续设计，对精度的要求不同。

总结

这次方孔实验里，输入端的采样没有明显问题：方孔宽度由 50 个像素表示，主要频谱能量也远离 Nyquist 边界。真正限制结果的是传播后的离散条件。距离增大后，1.024 mm 的窗口装不下主瓣及其旁瓣，FFT 的周期边界开始影响结果；同时，ASM 的传播算子在频域中变化过快，有限的 $\Delta f$ 无法可靠采样，输出里便出现了并不存在的网格纹理。

因此，做 inverse design 之前，不能只确认代码能跑、loss 能降。至少要检查输入采样、计算窗口、padding convergence、活动频带内的 kernel phase-step，以及所选传播模型的适用范围。对这组参数而言，短距离下 Fresnel 或 ASM 都能使用；长距离若需要 ASM 的完整场，则应扩大网格、加入 zero-padding，并启用 band-limit，再用已收敛的 DI 或其他可信 reference 对照输出。

这些检查并不保证模型已经等同于实验系统，但能先排除一类更基础的问题：优化器是否在利用 forward model 的数值误差。forward model 没有收敛时，梯度再正确，也只会把伪影写进 phase map。

参考文献

[1] Shen, F. & Wang, A. (2006). Fast-Fourier-transform based numerical integration method for the Rayleigh–Sommerfeld diffraction formula. Applied Optics 45(6), 1102–1110. DOI

[2] Matsushima, K. & Shimobaba, T. (2009). Band-Limited Angular Spectrum Method for Numerical Simulation of Free-Space Propagation in Far and Near Fields. Optics Express 17(22), 19662–19673. DOI

[3] Goodman, J. W. (2005). Introduction to Fourier Optics. Roberts & Company Publishers. 3rd edition.

[4] Southwell, W. H. (1981). Validity of the Fresnel approximation in the near field. JOSA 71(1), 7–14. DOI

[5] Forbes, G. W. (1996). Validity of the Fresnel approximation in the diffraction of collimated beams. JOSA A 13(9), 1816–1826. DOI

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