我在思考一种叫“AI 债”的概念，定义为

这里的 $C$ 代表复杂度，complexity。

当前的 AI 水平已经很高，在许多任务上远远超过了我。如果不加限制，它很容易生成超出我控制范围的内容。代码能跑，文章能写，项目也能迅速产出，但在这些产出中，真正属于自己可解释、可判断、可审核的部分，可能并没有那么多。

这样的差距如果不断积累，就会形成一种债。

理解复杂度和审核复杂度

假设让 AI 写一个自由空间传播的 sanity checker。它可能会同时检查各种传输模型近似的适用条件，并分析采样、窗口、混叠等复杂问题。

在这份实现里，我可能无法完整解释所有数值细节、边界条件和工程处理方式。但是，我可以用已知的解析解做基准测试，用理论公式写单元测试，也可以直接观察模拟结果是否符合预期。

这说明，即使我缺乏完整理解，我仍然可能拥有一套独立的审核能力。

因此，原来的 $C_{\text{me}}$ 至少可以拆成两个部分：

1. 理解能力 $C_u$：我能不能解释输出在做什么，以及为什么这样做。
2. 审核能力 $C_a$：我是否可以依据外部参考、测试用例或不变量，判断输出是否可以接受。

在上面的例子里，实际情况可能是：

AI 输出的复杂度已经超过了我的完整理解范围，但还没有超过我的审核范围。

对应地，AI 债也可以拆成：

这些变量当然很难量化，但至少可以帮助我们简单建模分析，把不同的问题分开讨论。

提示词如何改变复杂度

理解债取决于 $C_{\text{output}}$ 和 $C_u$ 之间的差距，审核债取决于 $C_{\text{output}}$ 和 $C_a$ 之间的差距。

有了上面的两个公式，我们就可以重新理解一些常见提示词是怎么起作用的。

比如，我们经常让 AI“说简单一点”，或者“假装我是初中生”，”explain it like I was 5”。这实际上是在降低输出的概念密度，让 $C_{\text{output}}$ 更接近理解能力 $C_u$。

要求“一步一步解释”，是在把原本省略的中间过程展开；要求“举个例子”，是在用熟悉的对象进行抽象概念；要求输出图表，则是在改变信息的表达方式，让复杂关系更容易被理解。

最近 Karpathy 提到使用 ASD STE100 来解释复杂技术内容，也是类似的思路。通过限制词汇、简化句法和减少歧义，降低理解难度。

这些提示词都在降低输出的理解复杂度，从而缩小 $C_{\text{output}}$ 和 $C_u$ 之间的差距。

如果想缩小审核债，也就是缩小 $C_{\text{output}}$ 和 $C_a$ 之间的差距，可以要求 AI 提供测试用例、reference 或 invariant，让我们拥有独立于 AI 解释之外的验收依据，从而提高审核力。

输出语言也会改变复杂度

输出语言本身也会影响 AI 输出复杂度，而且这里其实有两个不同的问题：表达语言和信息来源。

比如“用英文回答”，不仅会改变最终输出的语言，也可能改变 AI 使用的信息来源和语言分布。很多专业术语、论文、官方文档和技术规范最初就是英文，直接使用这些材料，可以减少一次翻译映射。

例如 field 在不同中文语境里可能被翻译成“场”“光场”“复振幅分布”等。这说明使用合适得语言可以增强 AI 输出稳定性，进而降低复杂度。

所以一个更稳定的提示词可以是：

优先使用英文原始资料，但用中文回答，同时保留专业术语的英文原文。

这样一来，一方面约束了信息来源，减少中间翻译带来的失真；另一方面又通过中文输出降低理解门槛。

前者减少了 $C_{\text{output}}$ 中由信息来源和翻译带来的不确定性，后者则提高了 $C_u$ 和 $C_a$。

AI 债发生在生成还是采用

接下来还有一个定义上的问题：AI 债究竟是在生成那一刻产生的，还是在我们采用它的时候产生的？

最近在做很多调研，我越来越明显地感觉到，AI 可以一次输出大量信息，但如果缺少后续检验，信息很容易逐渐失真。

假设我想买扫地机器人，让 AI 帮我列出二十个型号并做横向比较。它可能会列出大量我完全不了解的参数，比如不同的导航技术、越障高度和集尘方式。

此时，$C_{\text{output}}$ 可能已经远远超过我的理解和审核能力。但我并不觉得自己已经欠下了 AI 债，因为这些内容目前还只是候选信息，我并没有拿它们做任何实质性的决定。

所以，AI 债是在“采用”阶段产生的，只有当我们真正接受这些内容，作为行动和决策的依据，债务才开始累积。

在上面的例子是我下单那一刻。

下面进一步讲一些常见的应用场景。

场景 1：学习，允许可控超界

在学习新知识时，最好让输出内容在最近学习区。不是说所有输出都低于自己的理解能力，在这种情况下，理想的状态是：

这里的 $\delta$ 就是我希望多学到的那一小步知识。

如果 $\delta = 0$，说明 AI 说的东西我已经完全掌握，学习价值就很有限。如果 $\delta$ 太大，我得到的则会是一篇看起来信息量很大、实际上无法真正消化的答案。

这时候，前面提到的通俗解释、分步推理、类比和图表就有了明确作用。它们是在调节输出复杂度，让它落在刚好能够继续学习的范围内。

场景 2：生产代码，守住审核边界

代码上生产环境，真正关心的是测试覆盖率。所以

AI 完全可以写出我自己写不出来的算法，但当我准备把这段代码合并进去时，我必须有足够的判断依据，比如测试用例、性能基准。

场景 3：文章，核心逻辑需要自己覆盖

文章主要强调事实和观点，如果一篇文章以我的名字发表，其中的核心观点通常需要由我自己解释和捍卫，事实需要可检验。

对于文章的核心论证部分，我更希望满足：

也就是说，AI 可以在修辞和句法上超过我的日常表达，但是如果 AI 悄悄加入了一条我从未想过的逻辑链，比如从概念一推到概念二，再进一步延伸到概念三，而我只是读完以后觉得“好像有道理”，这是不允许的。

上一篇 用 PyTorch 实现一个可微光学逆向设计系统 把整套 Fourier optics inverse-design pipeline 搬到了原生 PyTorch：phase modulator → ASM 传播 → mode-overlap loss → autograd → Adam。N=250、Δx=10 μm、λ=700 nm、z=0.2 m 这组参数下，optimizer 把 loss 顺利压到接近 0，整个链路跑通了。但里面 N、Δx、L、λ、z 这五个量是怎么选的，那篇文章里没问过；写好 init 阶段的几行代码，整个计算图就跑起来了。

可微光学里，参数本身就是模型的一部分。这五个量共同决定 forward model 能不能描述真实物理：采样点不够、Δx 太大、计算窗口装不下传播后的光场，或者传播距离与频域网格失配，forward 模型都会给出看上去合理、实际不对的 U_out。inverse design 里尤其危险：optimizer 只看得到 loss 下降，看不到 forward 内部的数值失真。误差会沿着完全正常的梯度 backprop；表面上 loss 降了，实际优化的可能只是数值伪影。

优化前应先做一次数值模拟检查，也就是 sanity check。本文用方孔衍射，依次检查网格参数、输入采样、计算窗口、频率采样、传播算子相位和传播模型的适用范围。目的很简单：确认当前 forward model 的输出能否用于 inverse design。

先看方孔传播的结果

输入场是一个边长为 $a=100,\mu\mathrm m$ 的理想方孔，置于计算窗口中心：

由此得到计算窗口的物理宽度为

横纵方向覆盖 $[-0.512,,0.512],\mathrm{mm}$。

输入场与角谱

下图左侧为输入方孔，右侧为它的二维角谱幅度。

左图：方孔宽度占 50 个像素，边缘陡直，没有可见的锯齿或台阶。右图是它的二维频谱：中心一个亮峰，能量主要集中在中心十字形区域；横纵方向延伸出较弱的旁瓣。

不同距离下的传播图

waveprop 实现了 Fraunhofer、Fresnel、Angular Spectrum Method 和 Direct Integration。这里让四种方法都返回真实输出坐标，并在相同的物理观察窗口中比较。DI 直接离散 Rayleigh–Sommerfeld diffraction integral^[1]，没有 Fresnel 或 Fraunhofer 近似，但仍受输入采样、输出窗口和离散积分误差限制，因此只把它作为交叉参考。

依次传播到

每张图从左到右依次为 ASM、Fresnel、Fraunhofer 和 DI 四种方法在同一 ±0.5 mm 观察窗口内的结果。

z=1 mm 时，ASM、Fresnel 和 DI 几乎重合。能量集中在中心约 0.1×0.1 mm² 的方形区域，与原始方孔差不多大；硬边衍射带来的近场干涉在方形内部留下细密的明暗纹理。Fraunhofer 在同一 ±0.5 mm 窗口内却只剩中心几颗像素，把远场图样按 z 缩到了一个亮斑。它要求传播距离远大于十几毫米，z=1 mm 显然不在这个范围内；到了远场，这种按 z 缩放的尺度才是正常的。

到 z=10 mm，方孔的轮廓已经看不出来了，但 ASM、Fresnel 和 DI 仍然一致：中心是明亮的方形主瓣，横纵方向各有几级旁瓣，整体呈十字形。Fraunhofer 依旧挤成一团中心亮斑，ASM、Fresnel 和 DI 都有的横纵旁瓣没有出现。

z=100 mm 时，ASM 和 Fresnel 突然变了形：主瓣不见了，横纵方向密集的明暗条纹交叉成规则方格，亮度从中心往四边递减，条纹已经靠近窗口边缘。同一窗口里的 Fraunhofer 和 DI 则仍然平滑。Fraunhofer 是中心向外衰减的方形主瓣和横纵旁瓣，包络与输入角谱的十字形一致；DI 的形态接近，只是中心亮区在两个方向都略宽一些。

z=150 mm 时，ASM 和 Fresnel 的方格继续向外铺开，几乎占满整个 1.024 mm 窗口。中心几格最亮，四边仍有可见强度，最外层已经被边界截断。Fraunhofer 和 DI 依然保持方形主瓣加横纵旁瓣的十字形结构，DI 在两个方向上都比 Fraunhofer 更宽。

Fraunhofer 和 DI 都没有这些方格，说明它们是当前数值设置引入的伪影。z=100 mm 和 z=150 mm 的 ASM/Fresnel 已被离散条件污染；可能是窗口不够、FFT 周期边界的 wrap-around、传播算子欠采样，也可能是传播模型不在适用范围。

这次传播需要检查的几个条件

网格参数

当前参数为

由 $\Delta x$ 与 $N$ 可以直接得到空间窗口宽度

横纵方向覆盖

FFT 把空间域映射到频域后，频率采样间隔由 $L$ 唯一决定：

对应的 Nyquist frequency 则由 $\Delta x$ 决定：

$\Delta x$ 决定输入场在空间域里采得够不够细；$L$ 决定传播后的光场会不会跑出窗口；$\Delta f$ 决定输入频谱与 propagation kernel 在频域里采得够不够密。

输入采样

空域看方孔轮廓是否被充分采样，频域看主要频谱能量是否集中在远离 Nyquist 边界的区域、并且其结构是否被 $\Delta f$ 充分描述。

空域检查

输入方孔宽度为

在当前网格上横向占

个像素。方孔宽度由 50 个采样点表示，轴对齐边界没有明显的栅格化失真。

频域检查

对输入场做二维 Fourier transform：

频谱能量为

方孔存在硬边，因此频谱呈 sinc 型，没有有限带宽。这里定义边缘能量比 $\eta_{\mathrm{edge}}$，统计 Nyquist 频带最外侧 $20%$ 内的能量占比：

当前参数下得到

输入频谱几乎完全集中在 $|f|<0.8f_N$ 的内部区域，只有方孔硬边引入的高频尾部（约 $0.42%$ 的能量）落在最外侧 $20%$ 的频带内。

上图左为输入方孔，右为它的二维角谱。红实线方框是外圈能量占比对应的频率区域，橙虚线方框是 sinc 主瓣。两块之间的空白区域就是被求和的高频尾部，对应 0.42% 的量化结果。

再看频域分辨率。方孔 sinc 频谱从中心到第一零点的频率尺度为

当前

因此在一个 $1/a$ 的频率尺度内大约有

个采样点。这一密度足以分辨 sinc 主瓣的形状，也能描述至少一两级旁瓣。

小结

当前网格在输入这一侧没有明显问题：

因此，100 mm 和 150 mm 的异常主要不在输入场，而在后续的离散条件。

计算窗口

传播后的光场还能不能留在当前 $L=1.024,\mathrm{mm}$ 的窗口里？

窗口半宽为

频域估算

对于空间频率 $f$，近轴条件下的传播角约为

传播距离 $z$ 后的横向位移约为

要求这部分光场仍然位于半窗口 $L/2$ 内，可以定义安全频率

上图是输入角谱的中心截面，标出 sinc 第一零点（±10 mm⁻¹）、Nyquist 边界（±250 mm⁻¹）和四个距离对应的安全频率。z=1 mm、10 mm 时，安全频率还在第一零点外；z=100 mm 时降到 9.62 mm⁻¹，已经落进主瓣；z=150 mm 时只有 6.42 mm⁻¹，主瓣里已有一部分频率分量会越过窗口半宽。

空域估算

从空间域也能得到同样的结论。方孔远场第一零点的位置约为

代入当前参数：

上图是 ASM、Fresnel、Fraunhofer、DI 在中心水平截面上的归一化强度，从左到右 z=1、10、100、150 mm，黑色虚线为 Rayleigh–Sommerfeld 直接离散积分结果。z=1 mm 与 z=10 mm 时，ASM、Fresnel 和 DI 基本重合；z=100 mm、z=150 mm 时，ASM 与 Fresnel 在 DI 主瓣附近叠加了密集振荡，Fraunhofer 与 DI 仍是平滑曲线。

原窗口半宽只有 $512,\mu\mathrm m$。$z=100,\mathrm{mm}$ 时，第一零点已贴近窗口边缘；$z=150,\mathrm{mm}$ 时，它比窗口半宽大约多出 $56%$，主瓣外的结构会被截断。

Padding convergence 直接验证

保持 $\Delta x=2,\mu\mathrm m$ 不变，将网格依次扩大为 $N$、$2N$、$4N$，对应的窗口为

传播完成后，只比较三种网格共同覆盖的中心感兴趣区域（Region of Interest，下称 ROI）：

短距离下，padding convergence 已经稳定。z=1 mm 和 z=10 mm 的两条曲线都在 10⁻⁵ 量级以下，没有碰到 WARN 阈值；继续增大网格，差异可以忽略。

从 z=100 mm 开始就不同了：1N→2N 已越过 FAIL 阈值，z=150 mm 时误差接近 25%；2N→4N 仍高于 WARN，说明 4N 也还不够。

原始 N=512 配置只在 z=1 mm、z=10 mm 下可信。z=150 mm 时，网格每翻一倍确实都在改善：1N→2N 的误差为 25%，2N→4N 已降到 8%，但还没有收敛。

在 padding convergence 收敛前做 inverse design，forward model 输出本身就不稳定。

Zero-padding 与真实增大 $N$ 的区别

这里的 padding convergence，就是比较 zero-padding 的效果。补零不改变原始输入的物理采样 $\Delta x$ 或方孔宽度 $a$，只是在传播前把数组扩到

再做 FFT。原始输入场仍定义在 $512\times512$ 网格上，$\Delta x$ 不变；变大的是计算数组：

waveprop 的部分 FFT propagator 已内置 zero-padding。以 angular_spectrum 和 fresnel_conv 为例，pad=True 会先将输入网格扩到默认的 2 倍，即从 512×512 补到 1024×1024；传播在更大的数组上完成，最后裁回原输出区域。原始输入的 $\Delta x$ 和 $N$ 不变，FFT 内部使用更大的计算网格，以减轻 circular convolution 和周期边界的影响。

Fresnel 和 ASM 在 zero padding 之后的结果：

相较未加 padding 的 N=512 结果，ASM/Fresnel 的方格变细了，也更均匀；图中可见的间距也变小。zero-padding 将 $\Delta f$ 减半，但方格仍铺满 ±0.5 mm 窗口。Fraunhofer 和 DI 仍是平滑的方形主瓣加横纵旁瓣，没有方格。补零缓解了一部分问题，计算窗口却依然不够；waveprop 默认的 2 倍 zero-padding 对长距离传播仍然偏紧。

保持 zero-padding，再把 $N$ 真正提高到 1024。$\Delta x=2,\mu\mathrm m$ 不变：

得到 $z=100,\mathrm{mm}$ 和 $z=150,\mathrm{mm}$ 下四种方法的光场分布图：

观察窗口扩大到 ±1.024 mm 后，z=100 mm 下四种方法都出现了中心方形主瓣和横纵旁瓣，主瓣尺度也与 Fraunhofer 的远场估算一致。ASM/Fresnel 中心仍有一层细密方格；$\Delta f$ 减半后，它的间距变小了，但不再铺满整个窗口。

z=150 mm 时，亮斑继续变大，四种方法的整体形态也更接近。不过 ASM/Fresnel 中心仍看得到网格。输入频谱并不是问题，传播算子的频域采样却仍然不够：z=100 mm 和 z=150 mm 时，kernel 相位随频率的变化比当前 $\Delta f$ 能分辨的更快，kernel 本身已有欠采样风险，这也解释了中心纹理为何没有消失。

下图给出 ASM、Fresnel、Fraunhofer 与 DI 的中心截面比较。横轴是传播距离 $z$，纵轴是归一化 MSE；上图为 N=512、无 padding，下图为 N=1024、加 zero-padding。

两图的对比重点是 ASM/Fresnel。Fraunhofer 在远场的两组配置下与 DI 的曲线几乎重叠，这符合逻辑；z=150 mm 时 ASM/Fresnel vs DI 的 MSE 从约 0.165/0.185 降到约 0.018/0.048，差不多压了一个数量级，但仍未归零。因为剩余差距里既有 kernel 频域欠采样的成分，也可能夹着周期边界伪影，目前还无法把原因唯一归到某一种数值机制上。

频率采样

在 N=1024 加 zero-padding 之后，ASM/Fresnel 中心仍有细密网格。padding 收敛把 z=150 mm 处的误差从约 25% 压到约 8%，但没归零。输入频谱本身没问题：能量主要落在远离 Nyquist 的区域，不是这个纹理的主因。

可能是当前频域网格对 propagation kernel 采得不够密。BLAS^[2] 类的 band-limit 正是针对这一频段；若开启 BLAS 后网格消失，说明 kernel 的频域欠采样很可能是主要来源。

ASM 传播算子

Angular Spectrum Method 的传播关系是

其中

在标量 Helmholtz 范围内，ASM 不含 Fresnel 近似；问题在于，计算机只能采样离散的 $H(f_x,f_y)$。

令

FFT 的频率格点为

$\phi(f)$ 的局部斜率是：

当 $f\to 1/\lambda$ 时，分母 $\sqrt{1/\lambda^2-f^2}\to 0$，于是

高空间频率处，$H(f)$ 的相位变化很快。相邻频率点 $f_m$、$f_{m+1}$ 之间，真实相位可能已跨过 $3\pi$、$6\pi$，采样却只留下两个点。这就是 transfer function 的 aliasing：$H(f)$ 本身被 undersampled。

当前参数下的相步估计

下面切到 $N=1024$、$\Delta x=2,\mu\mathrm m$ 的网格：

$\Delta f$ 不随 $z$ 改变，$\phi$ 对频率的变化速度却会随 $z$ 增大。沿 $f_x$ 方向，

所以相邻频率点间的 phase step 近似为

即

与 $N=512$ 相比，$\Delta f$ 已减半，因此相同有效频带内的 phase step 也约减半。

取包含输入角谱 $99.9%$ 能量的有效频带

并在其中计算

四个距离下的结果为：

将 $\Delta\phi_H\approx\pi$ 作为工程警戒线：$z=1,\mathrm{mm}$ 相对安全，$z=10,\mathrm{mm}$ 刚越线；$z=100,\mathrm{mm}$ 和 $z=150,\mathrm{mm}$ 的 propagator undersampling 风险仍然明显。

将 $N$ 从 512 提高到 1024，frequency sampling 确实改善了，但仍不足以覆盖长距离传播。窗口虽扩大一倍，z=100 mm 和 z=150 mm 时 propagation kernel 的相位变化仍比当前 frequency grid 快一个数量级以上。

Matsushima 和 Shimobaba^[2]提出 BLAS，正是为处理标准 ASM 的 transfer function 在有限采样、有限窗口和传播几何共同限制下产生的误差。它裁去当前网格无法可靠传播的高频部分。

waveprop 可以直接开启 bandlimit：

1
2
3
4

# 公共 API：angular_spectrum 返回 (u_out, x_out, y_out)；这里显式开启 bandlimit 与 padding
u_asm, x_asm, y_asm = angular_spectrum(U0, wavelength, dx, z, bandlimit=True, pad=True)

u_fres, _, _ = fresnel_conv(U0, wavelength, dx, d2_out, z, pad=True)

启用 bandlimit 后，$z=100,\mathrm{mm}$ 和 $z=150,\mathrm{mm}$ 的结果如下：

启用 bandlimit 后，z=100 mm 和 z=150 mm 的 ASM 中心方格几乎消失，亮斑也与 DI 几乎贴合。这支持 kernel 欠采样是原有纹理主要来源的判断。

网格取 $N=1024$，加入 zero-padding 并开启 bandlimit 后，ASM、Fresnel、Fraunhofer 与 DI 的中心截面比较如下：

z=100 mm、z=150 mm 时，ASM/Fresnel 的 MSE 明显降低。以 z=100 mm 为例，ASM 从约 0.066 降到约 0.01，Fresnel 从约 0.081 降到约 0.005；z=150 mm 时，ASM 约为 0.018，Fresnel 为 0.048。ASM 相对 DI 的误差已接近 0；Fresnel 因 paraxial approximation 仍保留约 0.048 的差距。

下图是中心水平截面的归一化强度，从左到右为 $z=1,,10,,100,,150,\mathrm{mm}$；黑色虚线为 DI。

z=1 mm、10 mm 时，ASM、Fresnel 与 DI 基本重合，Fraunhofer 仍明显偏离。z=100 mm、150 mm 时，ASM 与 DI 在共同 ROI 和容差内几乎贴合；Fresnel 的主瓣上仍有 paraxial approximation 带来的高频振荡。

传播模型适用性

模型选择和离散网格是两层问题。Fresnel 用 paraxial 近似，Fraunhofer 用远场近似，ASM 使用完整的标量 $k_z$，DI 则直接离散 Rayleigh–Sommerfeld 积分。它们的物理假设不同；即便输入场和网格相同，结果也不一定应当相同。

传播距离 $z$ 会同时影响两层条件。距离太短时，Fresnel 和 Fraunhofer 的近似可能还不成立；距离变长后，ASM 的 kernel 相位又可能快过频域网格的采样速度。每次改变传播距离，都要重新检查模型假设和离散条件。

在 differentiable optics 中，后续优化无法补救选错的传播模型。若在 $z=1,\mathrm{mm}$ 用 Fraunhofer 反传，autograd 会按远场 sinc 模式调整 phase map，loss 可以持续下降，目标却不是实际的近场光场。长距离 ASM 不开 bandlimit 也是一样：autograd 会把欠采样 kernel 产生的网格纹理写进 phase map；loss 下降了，相位图里却混入数值伪影。

误差的两类来源

比较 Fresnel、ASM 和 DI 的输出前，先把公式本身的近似和网格造成的误差分开：

Taylor 截断、远场假设和倏逝波处理，属于公式层面的近似；kernel 相位 aliasing、有限孔径、quadrature 和 circular convolution，则来自离散网格。同一个 ASM 在 $N=1024$、padding 与 BLAS 都开启时表现良好，在 $N=512$ 上却出现方格，说明问题出在离散条件，公式本身没有变。下面分别看模型近似和传播算子的离散误差。

传播模型的近似误差

ASM、Fresnel、Fraunhofer 的关系可以直接从 ASM 的传播相位展开来看^[3]：
$$
\phi_{ASM}(f_x, f_y) = 2\pi z \sqrt{\tfrac{1}{\lambda^2} - f_x^2 - f_y^2}.
$$

对 $\sqrt{1 - \lambda^2(f_x^2+f_y^2)}$ 在零频附近展开：
$$
\phi_{ASM} = \tfrac{2\pi z}{\lambda} - \pi\lambda z (f_x^2+f_y^2) - \tfrac{\pi}{4}\lambda^3 z (f_x^2+f_y^2)^2 + O(f^6).
$$

去掉与频率无关的全局相位，Fresnel 只保留二次项：
$$
\phi_{Fresnel} = -\pi\lambda z (f_x^2 + f_y^2).
$$
Fraunhofer 在相位近似上也忽略这一二次项，并将输出写成按距离缩放的傅里叶变换。

对边长为 $a$ 的孔径，Fraunhofer 忽略二次相位后产生的最大相差为
$$
\max|\Delta\phi_{Fr \leftarrow F}| = \tfrac{\pi a^2}{4\lambda z} = \tfrac{\pi N_F}{4},
\qquad N_F = \tfrac{a^2}{\lambda z}.
$$
$N_F$ 是 Fresnel 数。$N_F\gg1$ 仍是近场，$N_F\ll1$ 才进入 Fraunhofer 的远场范围。这个 $100,\mu\mathrm m$ 方孔在 $532,\mathrm{nm}$ 波长下，$a^2/\lambda\approx18.8,\mathrm{mm}$。$z=10,\mathrm{mm}$ 时 $N_F\approx1.88$，Fraunhofer 还不适用；$z=100,\mathrm{mm}$ 和 $150,\mathrm{mm}$ 时分别为 $0.188$、$0.125$，可视为这组参数下的远场。

Fresnel 舍去四阶及更高阶项。以 $\sin\theta=\lambda f$ 把空间频率写成传播角度，Fresnel 相对 ASM 漏掉的第一项相位为
$$
\Delta\phi_{F \leftarrow A} = \tfrac{\pi z \sin^4\theta}{4\lambda}.
$$
$\Delta\phi_{F \leftarrow A}$ 表示同一角度分量传播距离 $z$ 后，Fresnel 与 ASM 累积的相位差。Fresnel 以二次相位近似精确的平方根相位；当这项差异接近 $1,\mathrm{rad}$，两者对该频率分量的相位预测就会明显分开。若保守地要求相位余项远小于 $1,\mathrm{rad}$，则有
$$
z \ll \tfrac{4\lambda}{\sin^4\theta}.
$$
这不是严格的物理边界，$1,\mathrm{rad}$ 只是在量级上筛查近似误差会不会影响结果。Fresnel 能否使用也不只取决于距离，还要看准备保留的传播角度：角度越大，舍去的四阶相位累积得越快。

主瓣第一零点处，$\theta_1=\lambda/a\approx5.3,\mathrm{mrad}$，对应距离上限约为 $2.7,\mathrm{km}$，所以 $1$ 至 $150,\mathrm{mm}$ 内的主瓣可用 Fresnel 描述。若要保留 $5^\circ$ 的旁瓣，界限缩到约 $37,\mathrm{mm}$；$10^\circ$ 时仅约 $2.3,\mathrm{mm}$。这和 Fraunhofer 的远场条件并不是同一件事：同一距离上，Fraunhofer 可能已足够描述孔径形成的远场主瓣，Fresnel 对宽角旁瓣的相位却仍会偏离 ASM。

ASM 没有 Fresnel 的 Taylor 截断。对传播波，它使用完整的标量 $k_z$；令 $q=\sqrt{f_x^2+f_y^2}$，倏逝波对应 $q>1/\lambda$，需要另行处理。许多实现会直接将它们置零，但近场、sub-wavelength 或 metasurface 问题可能正需要这部分信号。这时可以估计目标面仍保留的倏逝波能量：
$$
\eta_{\rm ev}(z) = \tfrac{\iint_{q>1/\lambda} |\tilde U_0|^2 \exp[-4\pi z\sqrt{q^2-1/\lambda^2}]}{\iint |\tilde U_0|^2}.
$$

Forbes^[5]指出，衍射积分中的振荡项会彼此抵消，因此这类相位余项适合作为保守筛查量。Southwell^[4]给出的实验误差可用于量级参照。

传播算子的离散误差

DI 直接离散 Rayleigh–Sommerfeld 积分，不含 Fresnel 或 Fraunhofer 的 Taylor 截断；但输入采样、积分求积、有限孔径和输出网格仍会带来误差。FFT-DI 还要处理 circular convolution 与 zero padding^[1]。

ASM 的离散误差主要出在传播算子。距离变长后，相邻频率格点的相位可能跨过多个 $\pi$，当前 $\Delta f$ 无法采准高频部分，输出便会出现并不存在的网格纹理。zero-padding 会加密频率网格，能减轻但不保证消除误差。活动频带的 phase-step，以及不同 padding 下结果是否稳定，才决定当前 ASM 能不能用。若 BLAS 裁掉不可靠频带后重新贴合已收敛的 DI，就可以把纹理归因于 propagation kernel 的离散采样。

同一个 ASM 在 $N=512$ 上出现方格，在 $N=1024$ 加 padding 和 BLAS 后贴合 DI，变的只是离散条件。若用未限带的 ASM 做长距离 inverse design，优化器会把这些纹理当作可利用的结构；loss 即使下降，phase map 也不会对应实验中的光场。

当前参数下的选型

这组方孔的模型假设和离散网格都得通过检查。$N_F$ 用来判断 Fraunhofer 的远场假设；活动频带内的 $\Delta\phi_{\max}$ 用来判断 ASM 的 kernel 是否欠采样；padding convergence 则检查有限窗口和周期边界是否已经收敛。表中的 phase-step 使用 $N=1024$ 时的频域网格。

度量与 reference 选择

有些指标在传播前就能算出：传播算子的 phase-step 取决于 $z$、$\Delta f$ 和活动频带；倏逝波残余 $\eta_{\rm ev}(z)$ 可由输入角谱和距离估计；Fresnel 相对 ASM 的相位余项也只应在实际有能量的频带内取最大值。若把它们扩到整个 FFT 网格，最大值可能落在空频段，对当前光场没有参考价值。

模型和网格条件通过后，再比较输出场。若关心目标面的光强，可用

如果 phase map 还要送入后续设计，就应比较复振幅。两组场可能只差一个没有物理意义的全局相位，先令

并计算

局部相位差为 $\arg\left(U_{\mathrm{test}}’ U_{\mathrm{ref}}^*\right)$。暗区的 $|U|$ 接近零，phase 本身不稳定，统计时只保留 $I_{\mathrm{ref}}>10^{-3}I_{\max}$ 的区域。不同传播器返回的输出坐标未必一致，比较前需插值到共同 ROI。

Fresnel 可与 ASM 对照，ASM 可与 DI 对照。DI 要充当 reference，自身也必须通过积分和网格收敛检查。允许的误差取决于任务：只比较目标面光强，和把复振幅继续送入后续设计，对精度的要求不同。

总结

这次方孔实验里，输入端的采样没有明显问题：方孔宽度由 50 个像素表示，主要频谱能量也远离 Nyquist 边界。真正限制结果的是传播后的离散条件。距离增大后，1.024 mm 的窗口装不下主瓣及其旁瓣，FFT 的周期边界开始影响结果；同时，ASM 的传播算子在频域中变化过快，有限的 $\Delta f$ 无法可靠采样，输出里便出现了并不存在的网格纹理。

因此，做 inverse design 之前，不能只确认代码能跑、loss 能降。至少要检查输入采样、计算窗口、padding convergence、活动频带内的 kernel phase-step，以及所选传播模型的适用范围。对这组参数而言，短距离下 Fresnel 或 ASM 都能使用；长距离若需要 ASM 的完整场，则应扩大网格、加入 zero-padding，并启用 band-limit，再用已收敛的 DI 或其他可信 reference 对照输出。

这些检查并不保证模型已经等同于实验系统，但能先排除一类更基础的问题：优化器是否在利用 forward model 的数值误差。forward model 没有收敛时，梯度再正确，也只会把伪影写进 phase map。

参考文献

[1] Shen, F. & Wang, A. (2006). Fast-Fourier-transform based numerical integration method for the Rayleigh–Sommerfeld diffraction formula. Applied Optics 45(6), 1102–1110. DOI

[2] Matsushima, K. & Shimobaba, T. (2009). Band-Limited Angular Spectrum Method for Numerical Simulation of Free-Space Propagation in Far and Near Fields. Optics Express 17(22), 19662–19673. DOI

[3] Goodman, J. W. (2005). Introduction to Fourier Optics. Roberts & Company Publishers. 3rd edition.

[4] Southwell, W. H. (1981). Validity of the Fresnel approximation in the near field. JOSA 71(1), 7–14. DOI

[5] Forbes, G. W. (1996). Validity of the Fresnel approximation in the diffraction of collimated beams. JOSA A 13(9), 1816–1826. DOI

自加速光束（accelerating optical beam）最吸引我的地方，是它在自由空间传播时，主瓣并不沿直线前进。最经典的 Airy beam 在傍轴近似下沿抛物线传播；更一般地，我们也可以先指定一条轨迹，再反过来寻找能够产生这条轨迹的输入光场。

传统做法通常从 caustic theory 出发，根据目标轨迹解析地推导空间相位或频谱相位。以 Generation of spirally accelerating optical beams 为例，它所解决的正是这样一个问题：

真正困难的是中间这一步：

学到 differentiable optics 和 inverse design 之后，我开始想：这里的问号是否一定要由我先完成一套解析推导？如果传播过程本身可以求导，那么也可以把输入相位当作未知参数，让优化器直接从传播结果中寻找答案：

PyTorch 会沿着光强计算、角谱传播和输入场构造自动反向传播，得到

再由 Adam 逐步更新相位。

本文就从这个思路出发，以一条凸抛物线为例，尝试用 phase-only inverse design 生成沿指定轨迹弯曲的高强度区域。整个实验使用 PyTorch 构建可微优化过程，并用 TorchOptics 检查训练后光场的二维传播。

1.1 简化为一维问题

我先只考虑 $x$ 方向，将完整二维相位掩模留到后续。目标轨迹取为

并用终点位移确定系数：

输入振幅固定为 Gaussian distribution：

唯一需要学习的是一维相位 $\phi(x)$：

当横向网格有 $N$ 个采样点时，优化器只需学习 $N$ 个实数，参数量远小于二维相位的 $N^2$。这里先验证一个基础问题：一张一维 phase-only mask，能不能让传播强度的高值区域逼近给定曲线？

当前损失没有约束无衍射、自修复、主瓣宽度恒定、旁瓣、能量效率或器件可制造性。因此，这里的结果只代表 trajectory inverse design 的第一步。

2. 设置数值网格

2.1 选择传播范围

实验采用以下参数：

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wavelength = 532e-9

N = 256
dx = 20e-6  # FOV = 5.12 mm

w0 = 0.20e-3  # 0.20 mm
z_rayleigh = torch.pi * w0**2 / wavelength

z_min = 0
z_max = z_rayleigh
num_z = 64

target_displacement_at_z_max = 1e-3
trajectory_coefficient = target_displacement_at_z_max / z_max**2

横向坐标与输入 Gaussian amplitude 为

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coord = (torch.arange(N, device=device) - (N - 1) / 2) * dx
amplitude_x = torch.exp(-(coord**2) / w0**2)

横向视场为

坐标范围约为 $[-2.56,2.56]\ \mathrm{mm}$。$w_0=0.20\ \mathrm{mm}$ 对应 10 个横向 pixel，输入 Gaussian 不至于在网格上完全欠采样。

训练距离取一个 Rayleigh range：

在 $0$ 到 $z_R$ 之间均匀选择 64 个传播平面。目标轨迹被写成一个独立函数：

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z_values = torch.linspace(
    z_min,
    z_max,
    num_z,
    device=device,
)


def target_trajectory(z):
    return trajectory_coefficient * z**2


target_x = target_trajectory(z_values)

2.2 检查数值可表示性

参数确定之后，下一步不应该马上进入优化，而要先检查目标是否超出离散网格的表达能力。否则，如果轨迹已经越过横向视场、输入场采样不足，或者所需传播角超过 Nyquist limit，后面无论怎样调整 loss 和 optimizer 都无法解决问题。

当前参数对应的检查结果是：

• 目标在一个 Rayleigh range 内最大移动 $1\ \mathrm{mm}$，视场半宽为 $2.56\ \mathrm{mm}$，边界余量为 $1.56\ \mathrm{mm}$。
• Gaussian 的 $1/e$ amplitude radius 覆盖 10 个 pixel，输入场没有明显欠采样。
• 抛物线最大斜率约为 $8.40\ \mathrm{mrad}$。
• 当前横向采样对应的 Nyquist angle 约为 $13.30\ \mathrm{mrad}$，目标使用了约 63.2%。
• 64 个训练平面的间距约为 $3.75\ \mathrm{mm}$；在轨迹最陡处，相邻平面的目标位移约为 1.57 pixel。

Notebook 输出为

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Numerical sampling sanity check
--------------------------------------
FOV half-width: 2.560 mm | max target displacement: 1.000 mm | margin: 1.560 mm
Gaussian sampling: w0 / dx = 10.0 pixels | edge intensity = 0.00e+00
Max target slope: 8.40 mrad | Nyquist angle: 13.30 mrad | usage: 63.2%
Longitudinal step: 3.75 mm | largest target shift per plane: 1.57 pixels

这些数值说明输入场和目标曲线都能被当前离散网格表示，说明优化失败不会来源于目标从一开始就在数值上不可表示。

2.3 表示可训练相位

相位参数用一个很小的 torch.nn.Module 表示：

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class PhaseMask(torch.nn.Module):
    def __init__(self, n):
        super().__init__()
        self.phase_x = torch.nn.Parameter(torch.zeros(n))

    def forward(self):
        return self.phase_x


phase_mask = PhaseMask(N).to(device)

每次 forward pass 都用当前相位构造复振幅：

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phase_x = phase_mask()
input_field_x = amplitude_x.to(torch.complex64) * torch.exp(1j * phase_x)

训练期间没有必要强制 $\phi\in[0,2\pi)$。真正进入光场的是 $e^{i\phi}$，它天然具有 $2\pi$ 周期性。需要显示相位或把它加载到 phase-only modulator 时，再计算

为了检查输入场，我把同一个一维复光场分别放在 $x$ 和 $y$ 两个方向，构造了一个可分离二维场。此时还没有训练，图中主要看到的是位于中心的 Gaussian input。

3. 用一维 ASM 传播

3.1 实现一维 ASM

目标轨迹和损失都定义在 $x$-$z$ 平面。如果先构造二维 Field，传播后再沿 $y$ 积分回到一维，那么训练过程会不断计算一个最终没有进入目标函数的额外维度。因此，我最后保留了一个直接用 PyTorch FFT 实现的一维 Angular Spectrum Method（ASM）。

ASM 的思路是把输入场分解为空间频率不同的平面波，让每个分量在频域积累传播相位。若 $f_x$ 以 cycles per meter 为单位，则

传播距离 $z$ 对应的传递函数为

所以

对应实现为

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def propagate_trajectory(field_x, z_values):
    """Propagate a 1D field along x with the angular spectrum method."""
    spatial_frequency_x = torch.fft.fftfreq(
        field_x.numel(),
        d=dx,
        device=field_x.device,
    )
    longitudinal_frequency = torch.sqrt(
        torch.clamp(1 / wavelength**2 - spatial_frequency_x**2, min=0)
    )
    spectrum_x = torch.fft.fft(field_x)

    propagated_fields_x = []
    for z in z_values:
        transfer_function = torch.exp(
            1j * 2 * torch.pi * z * longitudinal_frequency
        )
        propagated_fields_x.append(
            torch.fft.ifft(spectrum_x * transfer_function)
        )

    return propagated_fields_x

输入频谱只需计算一次，随后针对每个 $z_i$ 乘上传递函数。FFT、复数乘法和 IFFT 都留在 autograd 计算图中，因此这个效率上的简化不会切断梯度。

传播结果直接写成

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fields_x = propagate_trajectory(input_field_x, z_values)
intensities_x = [field.abs().square() for field in fields_x]

堆叠后，强度张量的形状是 [num_z, N]。这里从始至终没有 $y$ 维度，也不需要执行 intensity.sum(dim=0)。

3.2 固定 TorchOptics 的传播方法

TorchOptics 的 Field.propagate_to_z() 默认使用 propagation_method="AUTO"，它会根据传播距离与临界传播距离，在 ASM 和 Direct Integration Method（DIM）之间自动选择。临界距离与网格范围、采样间隔和波长有关，可以写为

训练使用自定义一维 ASM。若二维可视化在某些距离由 AUTO 切换到 DIM，训练和结果检查就会使用不同的传播方法。ASM 与 DIM 都可以求导，但数值离散误差有所不同。

因此，训练后的二维传播显式指定

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field.propagate_to_z(
    z,
    propagation_method="ASM",
)

这样可以避免 ASM/DIM 模型切换，使训练与结果检查保持在同一种传播框架内。自定义一维 ASM 与 TorchOptics 二维 ASM 的维度和离散细节仍有差异。

4. 定义轨迹损失

有了正向传播模型之后，每个传播平面都会得到一条 intensity profile：

直觉上，只要找出每个平面的最亮位置

再比较它和目标位置 $x_t(z_i)$，就可以写出一个非常直接的轨迹损失：

问题在于，argmax 是离散选择。强度稍有变化，结果就可能从一个 pixel 跳到相邻 pixel，无法提供连续而稳定的梯度。

我也考虑过用 softmax 加权坐标构造 soft peak，但这又会把整条 profile 压缩成一个坐标。训练初期目标位置几乎没有光时，梯度信号可能很弱；如果存在两个分离峰，它们的加权中心甚至可能刚好位于目标位置，让坐标误差看起来很小，却没有真正形成目标主瓣。

所以我最终放弃了在训练中”先找峰值坐标”，转而直接比较完整的 intensity profile。

4.1 构造 Gaussian target tube

对于每个目标位置 $x_t(z_i)$，在其周围放置宽度为 $\sigma_x$ 的 Gaussian：

当前实验取 $\sigma_x=60\ \mu\mathrm m$：

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sigma_x = 60e-6

target_profiles = torch.exp(
    -0.5 * ((coord[None, :] - target_x[:, None]) / sigma_x) ** 2
)

target_profiles = target_profiles / (
    torch.linalg.vector_norm(
        target_profiles,
        dim=1,
        keepdim=True,
    )
    + 1e-12
)

target_profiles 的形状为 [64, 256]。沿 $z$ 方向排列后，它形成一条具有有限宽度的 Gaussian tube。

4.2 用 profile overlap 代替 peak loss

不同传播面的峰值强度可能相差很大。这个阶段我先关心”形状和位置是否对齐”，因此对每个预测 profile 和目标 profile 分别做 $L^2$ normalization：

单个平面的 overlap 为

最终损失取为

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def trajectory_profile_loss(
    intensities_x,
    target_profiles,
):
    profiles = torch.stack(intensities_x, dim=0)

    profiles = profiles / (
        torch.linalg.vector_norm(
            profiles,
            dim=1,
            keepdim=True,
        )
        + 1e-12
    )

    overlap = torch.sum(
        profiles * target_profiles,
        dim=1,
    )

    return torch.mean(1 - overlap)

与单独比较坐标相比，这个损失保留了更多空间信息：目标区域太暗、非目标区域太亮，或者 profile 的形状与 target tube 不一致，都会降低 overlap。代价是它没有直接约束绝对功率——这个问题会在结果分析中再次出现。

5. 优化输入相位

优化器使用 Adam，学习率为 0.03，总共训练 380 次：

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optimizer = torch.optim.Adam(
    phase_mask.parameters(),
    lr=0.03,
)

num_iterations = 380

for iteration in range(num_iterations):
    optimizer.zero_grad()

    phase_x = phase_mask()
    input_field_x = (
        amplitude_x.to(torch.complex64) * torch.exp(1j * phase_x)
    )

    fields_x = propagate_trajectory(
        input_field_x,
        z_values,
    )
    intensities_x = [field.abs().square() for field in fields_x]

    loss = trajectory_profile_loss(
        intensities_x,
        target_profiles,
    )

    loss.backward()
    optimizer.step()

这个循环依次构造输入场、传播到多个 $z$ 平面、计算 profile overlap，再把梯度传回 $\phi(x)$。结果主要取决于 target 和 loss 的定义。

最后一次 optimizer.step() 更新的是相位参数，而当前循环里的 intensities_x 仍然对应更新前的参数。因此训练完成后，我重新执行了一次 forward pass，确保后面的图像和指标使用最终相位：

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with torch.no_grad():
    phase_x = phase_mask()
    input_field_x = (
        amplitude_x.to(torch.complex64) * torch.exp(1j * phase_x)
    )

    fields_x = propagate_trajectory(
        input_field_x,
        z_values,
    )
    intensities_x = [field.abs().square() for field in fields_x]

6. 分析优化结果

优化结束以后，我分别从损失收敛、峰值轨迹、完整 x-z 强度分布、学习到的相位，以及二维传播截面几个角度检查结果。

6.1 损失收敛

训练 loss 从 0.643652 持续下降，在约 200 次迭代后进入平台，最终稳定在 0.21376 左右：

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0000 loss=0.643652
0040 loss=0.492147
0080 loss=0.311251
0120 loss=0.240704
0160 loss=0.225951
0200 loss=0.218037
0240 loss=0.214968
0280 loss=0.213989
0320 loss=0.213797
0360 loss=0.213764

loss 的下降表明梯度能够穿过复数场、ASM 和 intensity calculation 回到输入相位，同时预测 profile 与 target tube 的重合度在提高。profile-overlap loss 不衡量位置误差，因此还需要单独检查主瓣轨迹。

6.2 峰值轨迹

argmax 在训练完成后可以直接测量每个传播面的最亮 pixel：

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@torch.no_grad()
def hard_peak_x(intensity_x, x_axis):
    index = torch.argmax(intensity_x)
    return x_axis[index]


hard_pred_x = torch.stack(
    [hard_peak_x(intensity_x, coord) for intensity_x in intensities_x]
)

把这些离散位置与目标抛物线放在一起，能够直接回答最初的问题。从图中可以看到，预测峰值整体沿正 $x$ 方向弯曲，并大体跟随目标轨迹；同时也能看到部分传播位置存在跳变和偏离。由于 hard argmax 只能落在横向网格点上，轨迹本身还带有 $20\ \mu\mathrm m$ 的量化。

6.3 x-z 强度分布

接下来，我把所有一维强度直接堆叠成 x-z map：

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xz_intensity = torch.stack(intensities_x, dim=0).T

hard argmax 每个平面只留下一个坐标，完整强度图则保留主瓣宽度、旁瓣和多个竞争峰。图中的高强度 ridge 朝目标方向弯曲，但局部峰值、宽度和旁瓣结构都会随传播发生变化。

6.4 训练后的相位

训练后的一维相位被外积扩展到两个方向，最后显示的是二维场

的 wrapped phase：

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with torch.no_grad():
    trained_phase_2d = torch.angle(input_field.data)

这里两个横向方向都使用同一个训练后的一维复光场。

当前 loss 没有相位平滑、空间带宽、pixelation 或 phase quantization 约束，因此相位中出现快速变化并不意外。如果目标是实际加载到 SLM，这些器件约束需要在下一轮设计中显式加入。

6.5 二维传播截面

为了看清这个可分离二维场传播后是什么样子，我用 TorchOptics 的 ASM 在 $0$、$0.2z_R$、$0.4z_R$、$0.6z_R$、$0.8z_R$ 和 $z_R$ 处绘制 $x$-$y$ intensity cross-section。

这里用两张图观察同一组传播截面。第一张图采用共享的绝对强度尺度：所有子图使用相同的 vmin 和 vmax，因此既能看主瓣移到了哪里，也能比较不同传播距离的峰值强度和能量集中程度。图中可以看到，峰值强度并没有在传播过程中保持不变；这正是当前 normalized profile loss 没有直接约束的部分。

第二张图把每个传播面的强度分别除以该平面的最大值。逐面归一化后，较暗平面中的主瓣、旁瓣和空间结构会更加清楚，适合比较不同位置的形态变化；但由于每个平面都被重新缩放到最大值 1，它不能用于判断不同传播距离之间的绝对强度差异。

两种尺度提供互补信息。绝对尺度用于判断强度和能量集中程度是否稳定，相对尺度用于观察各传播面的主瓣与旁瓣结构。归一化会隐藏传播面之间的亮度差异，共享绝对尺度则可能使弱光平面的结构难以辨认。

7. 局限与改进方向

这次尝试说明：在给定的一维 ASM 和离散网格下，确实可以把输入 Gaussian 的 phase 写成可训练参数，并通过完整 x-z profile 的 overlap，让传播后的高强度区域逼近指定凸抛物线。

当前 profile 在每个传播面分别归一化，因此 loss 主要奖励空间重合，而不直接关心绝对功率。这会留下几类可能的退化结果：

• 目标区域的绝对强度较弱，但归一化后的形状相似；
• 不同传播面的峰值强度变化明显；
• 某些位置出现多个强度接近的竞争峰；
• 主瓣宽度和旁瓣强度没有得到控制；
• 相位包含不利于实际器件实现的高空间频率。

如果继续推进这个设计，我会优先在 loss 中加入能量集中度、旁瓣抑制和主瓣宽度约束，再逐步加入相位平滑、SLM pixelation 与量化。若要设计只沿 $x$ 加速、沿 $y$ 保持指定形态的二维光场，则应分别定义 $x$ 与 $y$ 方向的输入，或者直接优化完整二维相位。